🤣Pre: B+Tree

知识点总结

B+树

为什么需要B+树

B+树本质上是一个索引数据结构。比如我们要用某个给定的ID去检索某个student记录，如果没有索引的话，我们可能从第一条记录开始遍历每一个student记录，直到找到某个ID和我们给定的ID一致的记录。可想而知，这是非常耗时的。 如果我们已经维护了一个以ID为KEY的索引结构，我们可以向索引查询这个ID对应的记录所在的位置，然后直接从这个位置读取这个记录。从索引查询某个ID对应的位置，这个操作需要高效，B+树能保证以O(log n)的时间复杂度完成。

B+树的性质

B+树由叶子节点和内部节点组成，和其它树结构差不多，但是对(KEY, VALUE)的个数和排列顺序有要求。

叶子节点：

格式如下：

 *  ---------------------------------------------------------------------------
 * | HEADER | KEY(1) + RID(1) | KEY(2) + RID(2) | ... | KEY(n) + RID(n) 
 *  ---------------------------------------------------------------------------

假设叶子结点最多能容纳个n个(KEY, RID)对，那么该叶子节点任何时候都不能少于n/2向上取整个(KEY, RID)对。假设(KEY, RID)对个数为x，那么x必须满足：

ceil(n/2) <= x <= n

ceil 表示向上取整。 KEY是search key，RID是该KEY对应的记录的位置。(KEY, RID)对按照KEY的増序进行排列。 HEADER的结构如下：

 * ----------------------------------------------------------------------------------------
 * | PageType (4) | LSN (4) | CurrentSize (4) | MaxSize (4) | ParentPageId (4) | PageId(4) |
 * ---------------------------------------------------------------------------------------

ParentPageId 指向父节点。

内部节点

 *  ----------------------------------------------------------------------------------------
 * | HEADER | INVALID_KEY+PAGE_ID(1) | KEY(2)+PAGE_ID(2) | ... | KEY(n)+PAGE_ID(n) |
 *  ----------------------------------------------------------------------------------------

假设内部节点最多容纳n个(KEY, PAGE_ID)对，和叶子节点一样，x必须满足：

ceil(n/2) <= x <= n

KEY表示search key，PAGE_ID指的是子节点的ID。 (KEY, PAGE_ID)对按照KEY的増序进行排列。 第一个KEY是无效的。 假设PAGE_ID(i)对应的子树中的KEY用SUB_KEY表示，那么SUBKEY都满足：KEY(i) <= SUB_KEY < KEY(i+1)。

查找操作

课本p489给出了find的伪代码。总结来说就是先找到KEY应该出现的叶子节点，然后在该叶子节点中，查找KEY对应的RID。 如下图：

假如我们希望查找的KEY为38，第一步在根节点A查找38应该出现在哪个子节点中，根据之前的性质，38应该出现在以B为根的子树中，继续查找节点B，以此类推，最终38应该出现在H的叶子节点中。最后我们在H中查找38。 所以对于内部节点，我们需要一个Lookup(const KeyType &key, const KeyComparator &comparator)方法，查找key应该出现在哪个子节点对应的子树中。

INDEX_TEMPLATE_ARGUMENTS
ValueType
B_PLUS_TREE_INTERNAL_PAGE_TYPE::Lookup(const KeyType &key,
                                       const KeyComparator &comparator) const {
    assert(GetSize() >= 2);
    // 先找到第一个array[index].first大于等于key的index（从index 1开始）
    int left = 1;
    int right = GetSize() - 1;
    int mid;
    int compareResult;
    int targetIndex;
    while (left <= right) {
        mid = left + (right - left) / 2;
        compareResult = comparator(array[mid].first, key);
        if (compareResult == 0) {
            left = mid;
            break;
        } else if (compareResult < 0) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    targetIndex = left;

    // key比array中所有key都要大
    if (targetIndex >= GetSize()) {
        return array[GetSize() - 1].second;
    }

    if (comparator(array[targetIndex].first, key) == 0) {
        return array[targetIndex].second;
    } else {
        return array[targetIndex - 1].second;
    }
}

因为KEY是已排序的，所以可以先二分查找第一个大于或等于KEY的下标targetIndex，如果targetIndex对应的KEY就是我们要找的KEY，那么targetIndex对应的value就是下一步要搜索的节点，否则targetIndex-1对应的value是下一步应该搜索的节点。

插入操作

课本p494给出了完整的insert(key, value)操作的伪代码。 思路就是：

1. 先找到key应该出现的叶子节点，将(key, value)插入到该叶子节点中。

2. 如果插入后该叶子节点中键值对超出了最大值，则进行分裂。如果插入后没有超出最大限制，那么就完成任务了。 如上图准备插入(7, 'g')，但是插入前p1叶子结点已经满了，那么先插入，然后将插入后的节点，分裂出新的节点p3，将p1原来一半的元素挪到p3，然后将(6, p3)插入到父节点p2中，其中6是新创建的节点p3第一个key。 同样的，如果我们在父节点p2中插入了(6, p3)导致了p2超过最大限制，p2也需要分裂，以此类推，这个过程可能产生新的根节点。

   

   img.png

删除操作

思路：

1. 先找到key应该出现的叶子节点，删除该叶子节点中key对应的键值对。

2. 删除后如果个数少于规定最少个数，那么有两个措施，如果当前节点个数和兄弟节点个数总和不超过允许的最大个数，那么进行并合。否则，从兄弟节点中借一个元素。

   

上图第一种情况： 删除(7, 'g')后，p3只有一个元素，少于最少允许的个数（2），于是将(6, 'f')已到兄弟节点p1, 删除p3节点，并且删除父节点p2中的(6, p3)，如果p2也少于最少允许个数，递归进行。 第二种请求： 删除p3的(8, 'h')后，p3只有一个元素，于是从兄弟节点p1借一个元素(6, f)，然后将父节点(7, 'g')修改为(6, 'f')，这种情况不需要递归。

支持并发操作

最粗暴的方式就是在find, insert, delete开始就加锁，执行完毕后解锁，这样逻辑上没有问题，但是并发效率很低，相当于串行执行。

crabbing协议

该协议允许多个线程同时访问修改B+树。

基本算法

1. 对于查询操作，从根节点开始，首先获取根节点的读锁，然后在根节点中查找key应该出现的孩子节点，获取孩子节点的读锁，然后释放根节点的读锁，以此类推，直到找到目标叶子节点，此时该叶子节点获取了读锁。

2. 对于删除和插入操作，也是从根节点开始，先获取根节点的写锁，一旦孩子节点也获取了写锁，检查根节点是否安全，如果安全释放孩子节点所有祖先节点的写锁，以此类推，直到找到目标叶子节点。节点安全定义如下：如果对于插入操作，如果再插入一个元素，不会产生分裂，或者对于删除操作，如果再删除一个元素，不会产生并合。

举个查找过程的例子，查找key=38：

举个插入过程的例子，插入25：

crab有螃蟹的意思，了解完crabbing协议加锁的过程，应该不难理解为什么叫crabbing协议了吧。

需要注意的地方

我们需要保护根节点id。 考虑下面这种情况： 两个线程同时执行插入操作，插入前B+树只有一个节点，线程一插入当前key后将分裂，生成一个新的根节点。另一个线程在线程一分裂前读取了旧的根节点，从而将key插入到了错误的叶子节点中。 解决办法： 在访问，修改root_page_id_的地方加锁，访问或者修改完毕root_page_id_后释放锁。root_page_id_指向的是该B+树的根节点，会保存在内存中，以便快速查找。

实验遇到的坑和解决方案

1. 前文提到我们需要保护root_page_id_这个变量，可以用一个mutex，访问或修改前加锁，访问或者修改后释放锁。一次加锁只能对应一次解锁，如果多调用了一次unlock()，同样起不到保护的作用。unlock()调用分别在各个函数中，很可能不小心就多调用了次，所以千万要小心。

2. 必须先释放Page上的锁，然后才能unpin该Page。为什么？我们知道unpin后，如果pin_count为0，那么这个Page将被送到LRUReplacer，当没有足够的Page时，将从LRUReplacer中取Page，将该Page的内容保存到磁盘后用于保存其它其它页的内容。考虑下面这个场景：在插入25的过程中，查找到目标叶子节点，这时该叶子节点肯定被加上了写锁，如果我们执行完插入后，先unpin了该Page，然后才释放该Page的锁。可能出现这种情况，在unpin完后，释放锁前，这个Page被送到了LRUReplacer，另一个线程请求访问页面1，但是所有的Page都被占用了，LRUReplacer选择这个淘汰带锁的这个Page来保存页面1，因为该Page的锁还没释放，所以另一个线程可以直接访问或者修改，这是回到原来的线程，再释放已经晚了。

3. lab本身提供的测试case是完全不够的，就算全部通过了，也不能保证代码是正确的。我自己加入了很多测试，涵盖多个线程的，根节点分裂等case。原代码只有对BPlusTree的测试，所以我添加了对BPlusTreeInternalPage和BPlusTreeLeafPage单独的测试，这样在用BPlusTreeInternalPage和BPlusTreeLeafPage构建BPlusTree前能保证自己是正确的。

4. 在使用完一个Page后应该立刻unpin掉，不能忘记unpin，如果忘记unpin的话，那么这个Page将永远不能用于保存其它页，当所有Page都被占用后，系统将无法继续运行。这个问题一度困扰我很久，一定要非常仔细。

5. 本lab的一个难点是调试，多使用assert和log。